Задача по математике. Комбинаторика 64 квадрата шахматной доски заполнены положительными целыми числами по одному на каждом. таким образом что каждое целое число является средним арифмитическим чисел на соседних квадрата. Докажите что все числа равны

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что не все числа равны. Тогда найдутся два различных числа a и b среди всех заполненных квадратов.

Посмотрим на квадраты, на которых стоят числа a и b. Поскольку числа a и b являются средними арифметическими соседних чисел, то они также являются средними арифметическими чисел, стоящих на оставшихся квадратах.

Рассмотрим квадрат, который является соседом квадрата с числом a и одновременно соседом квадрата с числом b. Этот квадрат имеет два соседа, на одном из которых стоит число a, а на другом - число b. Следовательно, число на этом квадрате должно быть равно (a+b)/2, что противоречит тому, что на каждом квадрате стоит только одно целое число.

Таким образом, предположение о том, что не все числа равны, неверно. Следовательно, все числа на квадратах шахматной доски равны.