Задача по комбинаторике 64 квадрата шахматной доски заполнены положительными целыми числами по одному на каждом. таким образом что каждое целое число является средним арифмитическим чисел на соседних квадрата. Докажите что все числа равны

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано: 64 квадрата шахматной доски, заполненные положительными целыми числами по одному на каждом таким образом, что каждое целое число является средним арифметическим чисел на соседних квадратах.

Доказательство:

Предположим, что не все числа на доске равны. Обозначим сумму всех чисел на доске как S, а количество чисел на доске как N.

Так как каждое число является средним арифметическим чисел на соседних квадратах, то сумма всех чисел на доске равна сумме всех чисел на соседних квадратах. То есть каждое число появляется дважды в сумме S.

Таким образом, если не все числа на доске равны, то сумма S будет равна 2Nk, где k - число, которое появляется на доске больше одного раза.

Однако сумма S должна быть равна сумме всех чисел от 1 до N (так как каждое число от 1 до N встречается на доске). Это означает, что S = N(N+1)/2.

Таким образом, получаем уравнение N(N+1)/2 = 2Nk, что равно N+1 = 4k. Но левая часть уравнения является нечетным числом (N+1), в то время как правая часть является четным числом (4k). Противоречие! Следовательно, все числа на доске должны быть равны.

Таким образом, доказано, что все числа на доске равны.