В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Известно, что AB=6, A_1B_1=3sqrt2. Чему равен угол ACB? (Первая лемма о высотах).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи воспользуемся первой леммой о высотах, которая гласит, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, так называемом ортоцентре.

Обозначим точку пересечения высот как H.

Из условия известно, что AB=6, A_1B_1=3*sqrt(2).

Также известно, что треугольник ABC и треугольник A_1B_1H подобны (по признаку общей вершины и двух пар соответственных углов).

Соответственно, AH/AC=AA_1/AB_1

AH/6 = 3/(3sqrt(2))

AH/6 = 1/sqrt(2)

AH = 6/sqrt(2)

AH = 3sqrt(2)

Теперь рассмотрим треугольник AHB. В нем угол B равен 90 градусов, так как точка H - это пересечение высот. Также стороны AB и AH равны 6 и 3sqrt(2) соответственно.

Теперь мы можем найти длину стороны HB по теореме Пифагора:

HB = sqrt(AB^2 - AH^2)

HB = sqrt(6^2 - (3sqrt(2))^2)

HB = sqrt(36 - 18)

HB = sqrt(18)

HB = 3sqrt(2)

Таким образом, у нас получилось, что сторона AB_1 и сторона HB равны 3sqrt(2).

Теперь рассмотрим треугольник ACB. Он является прямоугольным треугольником со сторонами AC, AB и BC.

Косинус угла ACB равен отношению прилежащего к гипотенузе в прямоугольном треугольнике:

cos(ACB) = AB_1 / BC

cos(ACB) = 3sqrt(2) / 6

cos(ACB) = 0.5

ACB = arccos(0.5)

ACB = 60 градусов

Итак, угол ACB равен 60 градусов.