Задача из олимпиады. Как это решить? На экране компьютера изображены два числа 20 и 101. Каждую минуту вместо них на экране появляются другие два числа - их среднее арифметическое и среднее гармоническое. Найдите произведение чисел, которые появятся на экране спустя 2020 минут.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи можно использовать подход индукции.

Пусть после первой минуты на экране появятся числа A и B, тогда A = (20 + 101) / 2 = 60.5, B = 2 / (1/20 + 1/101) ≈ 33.7931.

Далее, рассмотрим, что происходит средним арифметическим и средним гармоническим чисел A и B при каждом шаге:

Мы видим, что на каждом шаге новые числа будут равны A' = (2A B) / (A + B) и B' = (2A B) / (A + B), что подтверждает индуктивное предположение об этих числах.

Таким образом, после 2020 минут на экране появятся числа A' = (2A B) / (A + B) и B' = (2A B) / (A + B), где A = 60.5 и B ≈ 33.7931.

Найдем их произведение: (2 60.5 33.7931) / (60.5 + 33.7931) ≈ 45.8409.

Таким образом, числа, которые появятся на экране спустя 2020 минут, будут примерно равны 45.8409.