Доказать что серединные перпендикуляры к боковым сторонам делят основание на три равных отрезка В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 120 градусов. Доказать, что серединные перпендикуляры к боковым сторонам делят основание на три равных отрезка

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть ABC - равнобедренный треугольник с углом при вершине A равным 120 градусам.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то боковые стороны AB и AC равны между собой. Пусть они равны l.

Пусть D и E - середины сторон AB и AC соответственно. Тогда, так как AD и AE - серединные перпендикуляры к сторонам BC и АС, они будут равны между собой и равны половине основания:
AD = AE = l/2.

Также из равнобедренности треугольника ABC следует, что угол B = углу C = (180 - 120) / 2 = 30 градусов.

Рассмотрим треугольник AED. Угол EAD = угол EDA = 90 - (180 - 30) / 2 = 60 градусов. Таким образом, треугольник AED - равносторонний треугольник.

Так как в равностороннем треугольнике медиана делит сторону на два равных отрезка, получаем что:
DE = AE / 2 = l/4.

Таким образом, серединные перпендикуляры к боковым сторонам ABC делят основание на три равных отрезка.