Задача по Математике Плоскость проходит через прямую {x−y+1=0, y−z−2=0 параллельно вектору AB=(8,4,7). Найдите длину отрезка, отсекаемого этой плоскостью от оси ординат.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем уравнение плоскости, проходящей через прямую {x−y+1=0, y−z−2=0} параллельно вектору AB=(8,4,7).

Так как плоскость параллельна вектору AB=(8,4,7), то у нее нормальный вектор равен (8,4,7).

Так как прямая лежит в плоскости, то нормаль к плоскости должен быть коллинеарен векторам, определяющим прямую. Так как у нас два таких вектора (1, -1, 0) и (0, 1, -2), можем найти их векторное произведение, чтобы получить нормаль к плоскости, проходящей через нашу прямую
(1, -1, 0) x (0, 1, -2) = (2, 1, 1)

Получили, что нормальная к плоскости, проходящей через прямую, равна (2, 1, 1).

Уравнение этой плоскости можно записать в виде: 2x + y + z + D = 0

Подставим координаты точек прямой в это уравнение, чтобы найти D
(1, 0, -1) - точка прямо
2*1 + 0 - 1 + D =
D = -1

Итак, уравнение плоскости, проходящей через прямую и параллельной вектору AB=(8,4,7): 2x + y + z - 1 = 0

Теперь, чтобы найти точку пересечения плоскости с осью ординат, подставим x=0 в уравнение плоскости
y + z - 1 =
y = 1 - z

Теперь для нахождения длины отрезка, отсекаемого плоскостью от оси ординат, нужно найти расстояние между точкой пересечения плоскости с осью ординат (0,1,1) и началом координат (0,0,0)
√(0^2 + 1^2 + 1^2) = √(2) = √2

Таким образом, длина отрезка, отсекаемого плоскостью от оси ординат, равна √2.