Составьте уравнение касательной к графику функции Y=2-8√5* √х в точке с абсциссой х0=4/5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для составления уравнения касательной к графику функции в точке ( x_0 = \frac{4}{5} ) нужно найти значение производной функции и подставить в уравнение касательной.

Данная функция представляется в виде ( y(x) = 2 - 8\sqrt{5} \cdot \sqrt{x} ).

Найдем производную данной функции:
[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2 - 8\sqrt{5} \cdot \sqrt{x}) = - \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{x}} ].

Теперь подставим ( x_0 = \frac{4}{5} ) в выражение ( \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{x}} ):
[ \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{\frac{4}{5}}} = \frac{4\sqrt{5}}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{4\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{2} = 10 ].

Таким образом, производная функции в точке ( x_0 = \frac{4}{5} ) равна 10.

Уравнение касательной имеет вид: ( y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) ), где ( y_0 = f(x_0) ).
Подставим значение ( f(x_0) = f(\frac{4}{5}) = 2 - 8\sqrt{5} \cdot \sqrt{\frac{4}{5}} = 2 - 8\sqrt{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = -14 ) в уравнение касательной.
Учитывая, что производная в точке ( x_0 ) равна 10, получаем уравнение касательной:
[ y + 14 = 10(x - \frac{4}{5}) ].