Каждый из графиков функций y=x^2+ax+b и и y=x^2+bx+a пересекает ось Ox в двух различных точках. Каждый из графиков функций y=x^2+ax+b и и y=x^2+bx+a пересекает ось Ox в двух различных точках, а график y=(x^2+ax+b)(x^2+bx+a) имеет с осью Ox ровно три общие точки. Найдите наименьшее возможное значение суммы всех координат этих трёх точек.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим корни уравнения x^2+ax+b=0 как x_1 и x_2, а корни уравнения x^2+bx+a=0 как x_3 и x_4.

Так как каждый из графиков пересекает ось Ox в двух различных точках, то уравнения x^2+ax+b=0 и x^2+bx+a=0 имеют два различных корня. Используя формулу дискриминанта, получаем:

a^2-4b > 0
b^2-4a > 0

Также, график функции y=(x^2+ax+b)(x^2+bx+a) имеет с осью Ox ровно три общие точки, следовательно, у уравнения (x^2+ax+b)(x^2+bx+a) есть три корня на оси Ox.

Разложим данное уравнение:

(x^2+ax+b)(x^2+bx+a) = x^4+(a+b)x^3+(ab+a^2+ab)x^2+(a^2b+ab^2)x+ab
= x^4+(a+b)x^3+(2ab+a^2+b^2)x^2+(a+b)abx+ab

Для того, чтобы иметь три корня уравнения на оси Ox, коэффициент перед x^3 должен быть равен 0, то есть a+b=0 или a=-b.

Подставляем a=-b в неравенства выше:

b^2+4b > 0
4b^2-4b > 0

Эти два неравенства выполнены при b<-4/3, значит b принадлежит интервалу (-бесконечность, -4/3). Так как a=-b, то a принадлежит интервалу (4/3, +бесконечность).

Подставим a=-b в уравнение (x^2+ax+b)(x^2+bx+a) и найдем сумму корней:

(x^2+ax+b)(x^2+bx+a) = (x^2-ax+b)(x^2-ax+a)
= x^4-2ax^3+(a^2-b)x^2+abx-ba

Сумма корней составляет -(-2a)/1 = 2a, таким образом, минимальное значение суммы равно 2*(-4/3) = -8/3.

Итак, наименьшее возможное значение суммы всех координат точек пересечения графика функции y=(x^2-ax+b)(x^2+bx+a) с осью Ox равно -8/3.