В равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB вписан прямоугольник KMNP Нужно доказать что он является прямоугольным

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Перед тем как начать решение задачи, заметим, что из условия следует, что треугольник ABC равнобедренный. Следовательно, у него есть биссектриса из вершины угла C, которая является медианой, высотой и биссектрисой данного треугольника.

Обозначим точку пересечения медианы треугольника ABC и гипотенузы AB за O. Так как треугольник ABC равнобедренный, то точка O будет серединой гипотенузы AB.

Так как прямоугольник KMNP вписан в треугольник ABC, то он также является вписанным в треугольник AOC, где A и C — вершины треугольника ABC, а O — середина гипотенузы AB.

Теперь рассмотрим треугольники ABP и AKN. Они подобны, так как у них один общий угол A, а углы BPA и AKN прямые (так как прямоугольники KMNP и ABC вписаны в прямоугольный треугольник и прямоугольника соответственно).

Из подобия треугольников ABP и AKN следует, что отношение сторон AB и AK равно отношению сторон BP и KN. Но так как точка O — середина гипотенузы AB, то отрезок BP равен отрезку KN, а отрезок AB равен отрезку AK.

Итак, мы получили, что отрезки BP, AK и AB равны между собой. Это значит, что треугольники ABP и AKN — равнобедренные. Следовательно, у них соответствующие углы равны (так как это равнобедренные треугольники), то есть углы BPA и ANK равны между собой.

Но так как прямоугольный треугольник ABC равнобедренный, то его углы BAC и ABC равны между собой. Таким образом, угол ANK равен углу BAC.

Но углы ANK и ANO — смежные и дополняющие, так как они образуют вертикальный угол. Таким образом, угол ANO равен углу ABC.

Угол ANO также равен 90 градусам, так как он прямой, поэтому угол ABC равен 90 градусам. Это и означает, что прямоугольник KMNP вписанный в треугольник ABC является прямоугольным.