Доказать теорему Больцано - Вейерштрасса для N мерного метрического пространства. Привести пример N мерного метрического пространства и доказать теорему Больцано - Вейерштрасса для него. (Кроме Евклидово пространство).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Теорема Больцано - Вейерштрасса гласит, что из любой ограниченной последовательности точек в метрическом пространстве можно выбрать подпоследовательность, которая сходится к какой-то точке этого пространства.

Пример N мерного метрического пространства, отличного от евклидова пространства, можно рассмотреть метрическое пространство (R^n, d_p), где R^n - n-мерное пространство вещественных чисел, а d_p - метрика вида d_p(x, y) = (сумма по i от 1 до n |x_i - y_i|^p)^(1/p), где p > 1.

Докажем теперь теорему Больцано - Вейерштрасса для данного метрического пространства. Пусть у нас есть ограниченная последовательность точек {x_k}, k=1,2,3,... в пространстве R^n. Воспользуемся тем, что в данном пространстве выполняется неравенство треугольника, а также неравенство Коши-Буняковского:

d_p(x_m, x_n) = (сумма по i от 1 до n |x_m,i - x_n,i|^p)^(1/p) <= (сумма по i от 1 до n |x_m,i - x_i,i|^p)^(1/p) + (сумма по i от 1 до n |x_n,i - x_i,i|^p)^(1/p) <= 2*sup(d_p(x_i, x_j)).

Таким образом, последовательность {x_k} ограничена и фундаментальна. Так как R^n является полным метрическим пространством, то существует сходящаяся подпоследовательность {x_k_i}; x_k_i -> x_0, где x_0 - предел в данном пространстве.

Таким образом, теорема Больцано - Вейерштрасса доказана для N-мерного метрического пространства (R^n, d_p), где p > 1.