Доказать теорему Больцано - Вейерштрасса для N мерного метрического пространства. Привести пример N мерного метрического пространства и доказать теорему Больцано - Вейерштрасса для него. (Кроме Евклидово пространство).

7 Ноя 2020 в 19:43
113 +1
0
Ответы
1

Теорема Больцано - Вейерштрасса гласит, что из любой ограниченной последовательности точек в метрическом пространстве можно выбрать подпоследовательность, которая сходится к какой-то точке этого пространства.

Пример N мерного метрического пространства, отличного от евклидова пространства, можно рассмотреть метрическое пространство (R^n, d_p), где R^n - n-мерное пространство вещественных чисел, а d_p - метрика вида d_p(x, y) = (сумма по i от 1 до n |x_i - y_i|^p)^(1/p), где p > 1.

Докажем теперь теорему Больцано - Вейерштрасса для данного метрического пространства. Пусть у нас есть ограниченная последовательность точек {x_k}, k=1,2,3,... в пространстве R^n. Воспользуемся тем, что в данном пространстве выполняется неравенство треугольника, а также неравенство Коши-Буняковского:

d_p(x_m, x_n) = (сумма по i от 1 до n |x_m,i - x_n,i|^p)^(1/p) <= (сумма по i от 1 до n |x_m,i - x_i,i|^p)^(1/p) + (сумма по i от 1 до n |x_n,i - x_i,i|^p)^(1/p) <= 2*sup(d_p(x_i, x_j)).

Таким образом, последовательность {x_k} ограничена и фундаментальна. Так как R^n является полным метрическим пространством, то существует сходящаяся подпоследовательность {x_k_i}; x_k_i -> x_0, где x_0 - предел в данном пространстве.

Таким образом, теорема Больцано - Вейерштрасса доказана для N-мерного метрического пространства (R^n, d_p), где p > 1.

17 Апр в 22:16
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Бесплатные доработки
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 92 648 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Прямой эфир