Разложить многочлен на множители:: x^3+xy(x+y)+y^3+yz(y+z)+z^3+zx(z+x)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Многочлен x^3 + xy(x+y) + y^3 + yz(y+z) + z^3 + zx(z+x) можно разложить на множители следующим образом:

x^3 + xy(x+y) + y^3 + yz(y+z) + z^3 + zx(z+x) = (x+y)^3 + (y+z)^3 + (z+x)^3

Таким образом, многочлен можно представить в виде суммы кубов суммы каждой пары переменных: (x+y)^3 + (y+z)^3 + (z+x)^3

Теперь разложим каждое слагаемое по формуле суммы кубов:
(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
(y+z)^3 = y^3 + 3y^2z + 3yz^2 + z^3
(z+x)^3 = z^3 + 3z^2x + 3zx^2 + x^3

Суммируем полученные выражения:
(x+y)^3 + (y+z)^3 + (z+x)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + y^3 + 3y^2z + 3yz^2 + z^3 + z^3 + 3z^2x + 3zx^2 + x^3
= x^3 + y^3 + z^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 3y^2z + 3yz^2 + 3z^2x + 3zx^2

Таким образом, разложенный на множители многочлен равен:
x^3 + y^3 + z^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 3y^2z + 3yz^2 + 3z^2x + 3zx^2