Нужно решить задачу по планиметрии В прямоугольном треугольнике KLM из вершины прямого угла K проведены высота KA, медиана KB и биссектриса KC.
а) Докажите, что угол BKC равен полуразности острых углов треугольника KLM.
б) Найдите LM, если известно, что KA =12, KC =4√10.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а)
Пусть углы треугольника KLM равны α, β и γ, где γ - прямой угол.
Так как KC - биссектриса угла K, то угол BKC равен половине угла K, то есть BKC = α/2.
Также, так как KB - медиана треугольника KLM, то KB делит сторону LM пополам, то есть KL = LM.
Так как угол BKA прямой, то по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике KBA (AB - гипотенуза) получаем: AB^2 = AK^2 + KB^2.
Аналогично, по теореме Пифагора в треугольнике BKC (прямоугольном при угле BKC) получаем: BC^2 = CK^2 + KB^2.
Так как BC = 2KC (так как KC - биссектриса), то BC = 8√10, и получаем, что AB = 14.
Таким образом, из уравнений BC^2 = CK^2 + KB^2 и AB^2 = AK^2 + KB^2 получаем:
(8√10)^2 = (4√10)^2 + KB^2
80 = 160 + KB^2
KB^2 = 80
KB = 4√5
Из того, что KL = LM и KB = 4√5, получаем, что LM = 2KB = 8√5.

б)
Из решения а) мы уже знаем, что LM = 8√5.