На плоскости отмечено несколько точек не лежащих на одной прямой. В каждой точке записано число, причем сумма чисел в точках, лежащих на одной прямой, равна 0. Докажите, что все числа равны 0.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что существует точка с ненулевым числом. Пусть (x,y) - координаты этой точки, а число в ней равно k (k ≠ 0).

Тогда рассмотрим прямые, проходящие через данную точку и остальные точки. На каждой такой прямой, кроме данной точки, должна быть еще хотя бы одна точка с ненулевым числом. Обозначим эти точки и числа на них как (x1,y1,k1), (x2,y2,k2), ..., (xn,yn,kn).

Так как сумма чисел на каждой прямой равна 0, то k + k1 + k2 + ... + kn = 0. Но в этом выражении k ≠ 0, а значит сумма k1 + k2 + ... + kn также не равна 0. Противоречие, так как сумма чисел на любой прямой должна равняться 0.

Следовательно, все числа равны 0.