Докажите, что при всех значениях b не равно +-1 значение выражения (b-1)^2 (1/b^2b+1 + 1/b^2-1)+2/b+1 не зависит от b

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы доказать, что выражение не зависит от значения b, нам необходимо упростить его.

Сначала раскроем скобки в выражении (b-1)^2:

(b-1)^2 = b^2 - 2b + 1

Теперь подставим это выражение обратно в исходное:

(b^2 - 2b + 1)(1/b^2b+1 + 1/b^2-1) + 2/b+1 = (1 - 2b/b^2 + 1)(1/b^2b+1 + 1/b^2-1) + 2/b+1
= (2 - 2b/b^2)(1/b^2b+1 + 1/b^2-1) + 2/b+1
= 2/b^2b+2 + 2/b^2-2 - 2b/b^2b-1 - 2b/b^2-1 + 2/b+1

После упрощения получаем:

2 ( 1/(b^2(b+1)) + 1/(b^2(b-1)) ) + 2/(b+1) - 2/(b-1) + 2/(b+1)
= 2 ( b+1 + b-1 )/(b^2(b+1)(b-1)) + 4/(b^2-1)

= 4b/(b^2-1) + 4/(b^2-1)
= 4(b + 1)/(b^2 - 1)

Таким образом, выражение 4(b + 1)/(b^2 - 1) является окончательным упрощенным выражением и не зависит от значения b, если b ≠ ±1.