Алиса поделила натуральное трёхзначное число на 7 с остатком и потом это же число на 9 с остатком. Сумма всех остатков оказалась равной 14. Найдите наибольшее число, которое могла делить Алиса.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть искомое число, которое делит Алиса, равно х.

Тогда по условию задачи мы можем записать следующие уравнения:

(100a + 10b + c) ≡ x (mod 7)

(100a + 10b + c) ≡ x (mod 9)

где a, b, c — разряды данного трёхзначного числа.

Из первого уравнения следует, что x = (100a + 10b + c) mod 7 = (2a + 3b + c) mod 7.

Из второго уравнения следует, что x = (100a + 10b + c) mod 9 = (a + b + c) mod 9.

Также из условия задачи имеем:

(2a + 3b + c) + (a + b + c) = 14

3a + 4b + 2c = 14
3a + 4b + 2c ≡ 14 (mod 7)

Попробуем все варианты значений a, b и c, начиная с наибольших разрядов. Получаем, что a = 3, b = 3, c = 2.

Таким образом, наибольшее число, которое могла делить Алиса, равно 332.