Прямая на плоскость 1. Записать общее уравнение прямой, проходящей через 2 точки: А (1, -2) и В (5,2). Найти нормальный и направляющий вектор прямой. Построить прямую.
2. Определить угол между прямыми: у= -3х+7; у=2х+1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Общее уравнение прямой можно найти, используя уравнение прямой в пространстве: [\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}]
В данном случае z-координаты у нас нет, поэтому можно использовать только первые два равенства. Подставляем координаты точек А и В: [\frac{x-1}{5-1} = \frac{y+2}{2+2}]
[x-1 = 2y + 4]
[x - 2y - 5 = 0]

Теперь найдем направляющий вектор прямой. Он будет равен разности координат точек:
[\vec{AB} = (5-1, 2-(-2)) = (4, 4)]

Нормальный вектор прямой будет перпендикулярен направляющему вектору, его координаты можно взять просто поменяв знаки местами и поменяв одну из координат на противоположную:
[\vec{n} = (-4, 4)]

Угол между прямыми можно найти по формуле: [\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}]
Для прямых (y = -3x + 7) и (y = 2x + 1) направляющие векторы будут равны коэффициентам при x:
[\vec{a} = (-3, 1)]
[\vec{b} = (2, 1)]

Вычислим скалярное произведение и длины векторов:
[\vec{a} \cdot \vec{b} = -6 + 1 = -5]
[|\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}]
[|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}]

Подставляем в формулу и находим угол:
[\cos{\theta} = \frac{-5}{\sqrt{10}\sqrt{5}} = \frac{-5}{\sqrt{50}} = -\frac{5}{5\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}]
[\theta = \arccos{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)} \approx 135^\circ]

Таким образом, угол между прямыми составляет примерно 135 градусов.