На доске написаны натуральные числа от 1 до 12. Оля стёрла три числа, а некоторые из оставшихся подчеркнула Оказалось, что произведение подчёркнутых чисел равно произведению неподчёркнутых. Приведите пример, как это могло быть. Докажите, что если бы Оля стёрла не три числа, а меньше, такой трюк ей бы не удался.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пример: пусть на доске написаны числа 2, 3, 4, 6, 8, 12. Оля стирает числа 3, 6 и 12, а оставшиеся подчеркивает: 2, 4, 8. Произведение подчеркнутых чисел равно 64, а произведение неподчеркнутых также равно 64.

Доказательство:
Предположим, что Оля стерла не три числа, а два или меньше. Тогда возможны следующие случаи:

Оля стерла одно число: в этом случае произведение всех подчеркнутых чисел равно произведению оставшихся чисел, что не соответствует условию (так как 12 не равно 246*8).

Оля стерла два числа: предположим, что она стерла числа a и b. Тогда произведение всех подчеркнутых чисел равно abc, где c - произведение оставшихся чисел, а произведение всех неподчеркнутых чисел равно c. Таким образом, если abc = c, то ab=1, что возможно только при a=1 и b=1, но это также не соответствует условию.

Таким образом, только при стирании трех чисел и подчеркивании оставшихся можно добиться равенства произведения подчеркнутых и неподчеркнутых чисел.