Найти производную функции y(x), если x = cos(t), y=e^t * sin(t) Найти производную функции y(x), если x = cos(t), y=e^t * sin(t)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения производной функции y(x) необходимо применить цепное правило дифференцирования. Имеем:

x = cos(t),
y = e^t * sin(t).

Тогда можно выразить t через x следующим образом: t = arccos(x).

Далее, используя цепное правило, найдем производную функции y(x):

dy/dx = dy/dt dt/dx,
dy/dt = e^t sin(t) + e^t * cos(t),
dt/dx = -1/sin(arccos(x)) = -1/sqrt(1 - x^2).

Теперь выразим все через x:

dy/dx = (e^t sin(t) + e^t cos(t)) (-1/sqrt(1 - x^2)),
dy/dx = (e^(arccos(x)) sin(arccos(x)) + e^(arccos(x)) cos(arccos(x))) (-1/sqrt(1 - x^2)),
dy/dx = (x sqrt(1 - x^2) + sqrt(1 - x^2)) (-1/sqrt(1 - x^2)),
dy/dx = -x - 1.

Таким образом, производная функции y(x) равна -x - 1.