Задача по стереометрии В треугольной пирамиде ABCS все плоские углы при вершине S – прямые. Найдите целую часть длины отрезка СМ, если SA=30, SB=60, SC=90, М – точка пересечения медиан грани АВS.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через E точку пересечения медианы CS со стороной AB. Так как углы при вершине S прямые, то медиана пирамиды CSME проходит через центр описанной окружности треугольника CBS. Тогда угол CSE = 90 градусов.

Так как CE является медианой треугольника CBS, то CE = 1/2 * SB = 30. В прямоугольном треугольнике CSE (CE = 30, CS = 90), применив теорему Пифагора, найдем длину SE: SE = √(CS^2 - CE^2) = √(90^2 - 30^2) = √(8100 - 900) = √(7200) = 60√2.

Так как ME является медианой треугольника CSE, то ME = 1/2 SE = 30√2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник SEM, в котором SM - медиана, опущенная на гипотенузу. По теореме Пифагора получаем:
SM^2 = SE^2 + ME^2,
SM^2 = (60√2)^2 + (30√2)^2,
SM^2 = 36002 + 900*2,
SM^2 = 7200 + 1800,
SM^2 = 9000.

Отсюда получаем, что SM = √9000 = 30√10. Целая часть длины отрезка SM равна 30.