Даны координаты вершин пирамиды: A1(4; 6; 5), A2(6; 9; 4), A3(2; 10; 10), A4(7; 5; 9). Найти: 1) длину ребра A1A2
2) угол между ребрами A1A2 и A1A4
3) угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3
4) площадь грани A1A2A3
5) объем пирамиды
6) уравнения прямой A1A2
7) уравнение плоскости A1A2A3
8) уравнения высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Длина ребра A1A2
AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
AB = √[(6 - 4)^2 + (9 - 6)^2 + (4 - 5)^2
AB = √[2^2 + 3^2 + (-1)^2
AB = √(4 + 9 + 1
AB = √14

2) Угол между ребрами A1A2 и A1A4
cos(angle) = (A1A2 A1A4) / (|A1A2| |A1A4|
cos(angle) = ((6 - 4)(7 - 4) + (9 - 6)(5 - 6) + (4 - 5)(9 - 5)) / (√14 √5
cos(angle) = (23 + 3(-1) + (-1)4) / (√14 √5
cos(angle) = (6 - 3 - 4) / (√70
cos(angle) = -1 / √7
angle ≈ 103.18°

3) Угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3 равен 90°.

4) Площадь грани A1A2A3
Площадь = 0.5 |A1A2| |A1A3| sin(угол между векторами A1A2 и A1A3
Площадь = 0.5 √14 √[(2 - 4)^2 + (10 - 6)^2 + (10 - 5)^2] sin(90°
Площадь = 0.5 √14 √[(-2)^2 + 4^2 + 5^2]
Площадь = 0.5 √14 √( 4 + 16 + 25
Площадь = 0.5 √14 √4
Площадь = 3√14 3√
Площадь = 3√70

5) Объем пирамиды
Объем = (1/3) Площадь основания Высот
Объем = (1/3) 3√70 |A1A2|
Объем = (1/3) 3√70 √14 |A1A2
Объем = √70 √1
Объем = √(70 14
Объем = √98
Объем = 14√5

6) Уравнение прямой A1A2
Для уравнения прямой в трёхмерном пространстве можно воспользоваться параметрическим уравнением
x = x1 + a(tx2 - x1
y = y1 + a(ty2 - y1
z = z1 + a(tz2 - z1
где a - параметр, t - значение, при котором точка принадлежит прямой.

7) Уравнение плоскости A1A2A3
Уравнение плоскости можно записать в виде
Ax + By + Cz + D =
где коэффициенты A, B, C можно найти из векторного произведения векторов A1A2 и A1A3.

8) Уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3
Уравнение прямой, проходящей через точку A4 и перпендикулярной плоскости A1A2A3, можно найти, используя уравнение плоскости и координаты точки A4.