Даны координаты вершин пирамиды: A1(4; 6; 5), A2(6; 9; 4), A3(2; 10; 10), A4(7; 5; 9). Найти: 1) длину ребра A1A2;
2) угол между ребрами A1A2 и A1A4;
3) угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3;
4) площадь грани A1A2A3;
5) объем пирамиды;
6) уравнения прямой A1A2;
7) уравнение плоскости A1A2A3;
8) уравнения высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Длина ребра A1A2:
AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]
AB = √[(6 - 4)^2 + (9 - 6)^2 + (4 - 5)^2]
AB = √[2^2 + 3^2 + (-1)^2]
AB = √(4 + 9 + 1)
AB = √14

2) Угол между ребрами A1A2 и A1A4:
cos(angle) = (A1A2 A1A4) / (|A1A2| |A1A4|)
cos(angle) = ((6 - 4)(7 - 4) + (9 - 6)(5 - 6) + (4 - 5)(9 - 5)) / (√14 √5)
cos(angle) = (23 + 3(-1) + (-1)4) / (√14 √5)
cos(angle) = (6 - 3 - 4) / (√70)
cos(angle) = -1 / √70
angle ≈ 103.18°

3) Угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3 равен 90°.

4) Площадь грани A1A2A3:
Площадь = 0.5 |A1A2| |A1A3| sin(угол между векторами A1A2 и A1A3)
Площадь = 0.5 √14 √[(2 - 4)^2 + (10 - 6)^2 + (10 - 5)^2] sin(90°)
Площадь = 0.5 √14 √[(-2)^2 + 4^2 + 5^2] 1
Площадь = 0.5 √14 √( 4 + 16 + 25)
Площадь = 0.5 √14 √45
Площадь = 3√14 3√5
Площадь = 3√70

5) Объем пирамиды:
Объем = (1/3) Площадь основания Высота
Объем = (1/3) 3√70 |A1A2| h
Объем = (1/3) 3√70 √14 |A1A2|
Объем = √70 √14
Объем = √(70 14)
Объем = √980
Объем = 14√5

6) Уравнение прямой A1A2:
Для уравнения прямой в трёхмерном пространстве можно воспользоваться параметрическим уравнением:
x = x1 + a(tx2 - x1)
y = y1 + a(ty2 - y1)
z = z1 + a(tz2 - z1)
где a - параметр, t - значение, при котором точка принадлежит прямой.

7) Уравнение плоскости A1A2A3:
Уравнение плоскости можно записать в виде:
Ax + By + Cz + D = 0
где коэффициенты A, B, C можно найти из векторного произведения векторов A1A2 и A1A3.

8) Уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3:
Уравнение прямой, проходящей через точку A4 и перпендикулярной плоскости A1A2A3, можно найти, используя уравнение плоскости и координаты точки A4.