Геометрия, задача на доказательство Доказать, что площадь треугольника образованного касательной к гиперболе и ее асимптотами, равна произведению полуосей гипербол
Буду самым счастливым человеком, если распишит
Спасибо

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Конечно, давайте докажем это.

Пусть у нас есть гипербола с уравнением $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ и ее асимптоты, которые имеют уравнения $y = \frac{b}{a}x$ и $y = -\frac{b}{a}x$.

Пусть $A$ - точка пересечения касательной к гиперболе и ее асимптоты, $B$ - точка пересечения касательной с другой асимптотой, а $C$ - точка пересечения асимптот.

Теперь заметим, что угол между касательной и асимптотой равен углу между касательной и осью $x$. То есть угол $ABC$ прямой, и треугольник $ABC$ прямоугольный.

Теперь, площадь такого треугольника $ABC$ равна $\frac{1}{2} \times AB \times BC$. По теореме Пифагора, $AB = \sqrt{a^2 + b^2}$ и $BC = a$, итак, площадь треугольника $ABC$ равна $\frac{1}{2} \times \sqrt{a^2 + b^2} \times a$.

Теперь, площадь треугольника $ABC$ также равна произведению полуосей гиперболы, то есть $S = 2ab$. Из этого следует, что $\sqrt{a^2 + b^2} \times a = 2ab$.

Отсюда мы видим, что площадь треугольника образованного касательной к гиперболе и ее асимптотами, равна произведению полуосей гиперболы $\blacksquare$.