Тест по алгебре Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая АВ
параллельна плоскости, проходящей через середины отрезков AD, BD, CD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения рассмотрим плоскость, проходящую через середины отрезков AD, BD, CD. Обозначим центр этой плоскости как O.

Так как точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости, то треугольник ABC имеет ненулевую площадь. Рассмотрим отрезок AC и добавим к нему вектор CB, тогда получим вектор CA+CB. Таким образом, вектор CA+CB не равен нулевому вектору.

Так как точка O – середина отрезка AC, то вектор OA = OC = 1/2 (CA). Аналогично вектор OB = (1/2) CB.

Тогда OA + OB = 1/2 * (CA + CB), что не равно нулевому вектору и, следовательно, векторы OA и OB линейно независимы.

Таким образом, векторы OA и OB задают плоскость, т.е. плоскость, проходящая через середины отрезков AD, BD, CD.

Прямая АВ параллельна этой плоскости, так как векторы OA и OB, лежащие в этой плоскости, не лежат на прямой AB, следовательно, прямая AB параллельна плоскости, проходящей через середины отрезков AD, BD, CD.