Задача по математике В основании правильной четырёхугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 6. Точка P - середина ребра SB. Найдите высоту пирамиды, если известно, что прямые AP и SC перпендикулярны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим высоту пирамиды как h. Так как AP и SC перпендикулярны, то AP параллелен SC. Тогда треугольники APS и SCD подобны, так как у них соответствующие углы равны и у них один общий угол.

Из подобия треугольников APS и SCD можем написать:

AP/SC = h/(h + 6)

Так как P - середина ребра SB, то AP = PB. Так как SCD - прямоугольный треугольник со сторонами 6 и h, то по теореме Пифагора:

SC^2 = h^2 + 36

A если применить подобие треугольников APS и SCD еще раз, получим:

AP^2 = h(h + 6)

Теперь можем записать уравнение:

AP/SC = h/(h + 6) = 6/(√(h^2 + 36))

Отсюда получаем:

h/(h + 6) = 6/√(h^2 + 36)

h^2 = 144(h + 6)^2/(h + 6)

h^2 = 144(h + 6)

h^2 = 144h + 864

h^2 - 144h - 864 = 0

Далее решаем квадратное уравнение и находим два значения h. Так как h - высота, она должна быть положительная, значит возьмем положительное значение. Получаем, что высота пирамиды равна h = 24.

Итак, высота пирамиды равна 24.