Доказать что x^2+y^2+1>=xy+x+y

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Неравенство x^2 + y^2 + 1 ≥ xy + x + y можно переписать в виде:

x^2 + y^2 - xy - x - y + 1 ≥ 0.

Преобразуем левую часть уравнения:

x^2 + y^2 - xy - x - y + 1 = (x - y)^2 + (x - 1)^2 + (y - 1)^2.

Исходя из этого, получаем, что данное выражение является суммой трех квадратов, что значит, что оно всегда неотрицательно. Следовательно, x^2 + y^2 + 1 ≥ xy + x + y для любых x и y.