Владислав придумал, как защитить свой компьютер паролем из четырех цифр. ЗАДАЧА ПО ОЛИМПИАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ! Владислав придумал, как защитить свой компьютер паролем из четырех цифр, но при этом не запоминать его. Он сделал так, чтобы каждый раз при входе появлялась подсказка к паролю из первых трех цифр, а четвертую надо написать такую, чтобы полученное число делилось на 9. Пароль меняется каждый день случайным образом и его можно ввести только один раз. Докажите, что если последняя цифра не 0, то Владислав всегда сможет войти в компьютер.
Докажите, что можно убрать ограничение на последнюю цифру пароля в предыдущей задаче, если разрешить две попытки для ввода пароля.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала докажем, что если последняя цифра не равна 0, то число, составленное из первых трех цифр пароля, может быть любым, кроме чисел, делящихся на 9.

Действительно, если последняя цифра пароля не 0, то число, составленное из первых трех цифр пароля, будет неравен нулю по модулю 9 (иначе число целиком делилось бы на 9). Значит, остаток от деления этого числа на 9 будет отличен от нуля. Следовательно, у Владислава всегда есть возможность ввести подходящую четвертую цифру.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда у Владислава есть две попытки для ввода пароля. Поскольку число, составленное из первых трех цифр пароля, может быть любым, кроме чисел, делящихся на 9, то он может сначала попробовать ввести число, которое не делится на 9. Если первая попытка не пройдет, то на второй попытке он может ввести любую цифру (включая 0). Таким образом, у Владислава всегда будет возможность войти в компьютер, даже если последняя цифра не равна 0.