Вопрос для Математика В урне белых 6 и 7 черных шаров. Из урны вынимают случайным образом 4 шаров. Для случайной величины, равной разности между количеством вынутых белых и черных шаров, требуется:
а) найти закон распределения;
б) построить график функции распределения ;
в) найти математическое ожидание и дисперсию .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для нахождения закона распределения необходимо рассмотреть все возможные комбинации вынутых шаров из урны. Всего существует $\binom{13}{4}$ способов вынуть 4 шара из урны, где $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - это число сочетаний из n элементов по k.

Следующие комбинации возможны:

0 белых, 4 черных - $\binom{6}{0}\binom{7}{4} = 35$ способов
1 белый, 3 черных - $\binom{6}{1}\binom{7}{3} = 210$ способов
2 белых, 2 черных - $\binom{6}{2}\binom{7}{2} = 315$ способов
3 белых, 1 черный - $\binom{6}{3}\binom{7}{1} = 140$ способов
4 белых, 0 черных - $\binom{6}{4}\binom{7}{0} = 15$ способов

б) График функции распределения для данной случайной величины будет иметь ступенчатый вид. На оси X будут отложены возможные значения разности между белыми и черными шарами (от -4 до 4), а на оси Y - вероятности этих значений.

в) Математическое ожидание вычисляется как сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности:

$E[X] = (-4)\cdot\frac{35}{715} + (-2)\cdot\frac{210}{715} + 0\cdot\frac{315}{715} + 2\cdot\frac{140}{715} + 4\cdot\frac{15}{715} = -\frac{8}{13}$

Дисперсия вычисляется как среднее значение квадрата отклонений случайной величины от ее математического ожидания:

$D[X] = E[X^2] - (E[X])^2$

$E[X^2] = (-4)^2\cdot\frac{35}{715} + (-2)^2\cdot\frac{210}{715} + 0^2\cdot\frac{315}{715} + 2^2\cdot\frac{140}{715} + 4^2\cdot\frac{15}{715} = \frac{56}{13}$

$D[X] = \frac{56}{13} - \left(-\frac{8}{13}\right)^2 = \frac{16}{13}$