Докажите, что площадь четырехугольника... Докажите, что площадь четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон данного выпуклого четырехугольника, равна половине площади данного.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть у нас есть выпуклый четырехугольник ABCD, а E, F, G, H - середины его сторон AB, BC, CD, AD соответственно.

Для начала докажем, что EF || AB и EF = 1/2 AB.

Так как E - середина стороны AB, то AE = EB. Точно так же для F - середина стороны BC, то BF = FC. Так как у отрезка AB и BC есть общая точка B, то по теореме об отрезке, соединяющем середины сторон четырехугольника, EF || AB и EF = 1/2 AB.

Аналогично можем доказать, что GH || CD и GH = 1/2 CD.

Теперь построим прямую, проходящую через точки E и F, и пересекающую прямую, проходящую через точки G и H, в точке O. Таким образом, у нас появились два треугольника FEO и GHO.

Заметим, что треугольники FEO и GHO равны (гомотетичны) по трем сторонам, так как EF = 1/2 AB, GH = 1/2 CD, EO = GO (как радиус одной окружности), FO = HO (как радиус другой окружности) и угол между EF и GH (или EO и GO) равен 180 градусам.

Теперь рассмотрим четырехугольник EFGH. Он является параллелограммом, так как его противоположные стороны параллельны. Площадь параллелограмма равна произведению длины его основания на высоту, опущенную на это основание. Так как GH = 1/2 CD, то высота четырехугольника EFGH равна высоте четырехугольника ABCD. Таким образом, площадь четырехугольника EFGH равна половине площади четырехугольника ABCD.

Таким образом, площадь четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон данного выпуклого четырехугольника, равна половине площади данного четырехугольника.