Докажите, что площадь четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон... Докажите, что площадь четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон данного выпуклого четырехугольника, равна половине площади данного.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть дан четырехугольник ABCD, вершины которого являются серединами сторон данного четырехугольника. Обозначим точки пересечения диагоналей четырехугольника ABCD как E и F.

Так как вершины четырехугольника ABCD являются серединами сторон данного четырехугольника, то отрезки AE, EB, BC, CD, DA делятся пополам. Следовательно, отрезки AE=EC, EB=BD, CD=DF, DA=AF.

Площадь четырехугольника ABCD можно выразить через площади треугольников AEF и CDF:

S(ABCD) = S(AEF) + S(CDF).

Так как BE = 1/2 AC, то S(AEF) = 1/2 S(ABC), аналогично S(CDF) = 1/2 S(BCD).

Итак, S(AEF) + S(CDF) = 1/2 S(ABC) + 1/2 S(BCD) = 1/2 (S(ABC) + S(BCD)) = 1/2 S(ABCD).

Таким образом, площадь четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон данного четырехугольника, равна половине площади данного четырехугольника.