Как обосновать по определению предела, что lim[n- > +∞] (2n+(-1)^n)/n = 2 ?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы обосновать, что lim[n->+∞] (2n+(-1)^n)/n = 2, нужно использовать определение предела последовательности.

По определению, предел последовательности lim[n->+∞] a_n = b, если для любого положительного числа ε существует такое число N, что для всех n больше чем N выполняется условие |a_n - b| < ε.

В данном случае у нас дана последовательность (2n+(-1)^n)/n. Разделим числитель и знаменатель на n:
(2n/n + (-1)^n/n) = 2 + (-1)^n/n

Теперь нам нужно показать, что (2 + (-1)^n/n) стремится к 2 при n->+∞. Рассмотрим два случая:

Когда n - четное число:
(2 + (-1)^n/n) = 2 + (-1)/(n) = 2 - 1/n
При n->+∞, 1/n стремится к 0, поэтому 2 - 1/n стремится к 2.

Когда n - нечетное число:
(2 + (-1)^n/n) = 2 + 1/n
При n->+∞, 1/n стремится к 0, поэтому 2 + 1/n стремится к 2.

Таким образом, независимо от четности или нечетности n, мы видим, что (2 + (-1)^n/n) стремится к 2 при n->+∞. Поэтому по определению предела lim[n->+∞] (2n+(-1)^n)/n = 2.