Задача по математике Составить уравнение высоты D треугольника с вершинами A(-2;0;1), B(7;-3;4), C(4;-1;4).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи, нужно воспользоваться формулой нахождения высоты треугольника из вершины к противолежащей стороне.

Высота треугольника равна отрезку, проведенному из вершины перпендикулярно противолежащей стороне. Поэтому, сначала найдем длину вектора, направленного от вершины A до точки пересечения высоты с противолежащей стороной (назовем эту точку D).

Найдем уравнение прямой, проходящей через вершины A и противолежащего угла треугольника (точка C). Для этого рассчитаем вектор значений для данной прямой:
$$
\vec{AC} = (4 - (-2); -1 - 0; 4 - 1) = (6; -1; 3)
$$

Теперь запишем уравнение прямой в параметрической форме:
$$
x(t) = -2 + 6t
$$
$$
y(t) = 0 - t
$$
$$
z(t) = 1 + 3t
$$

Найдем точку пересечения высоты треугольника с противолежащей стороной (точка D). Подставим параметр t в уравнение прямой и приравняем координаты точки D:
$$
-2 + 6t = 7
$$
$$
0 - t = -3
$$
$$
1 + 3t = 4
$$

Решая эту систему уравнений, найдем:
$$
t = 1
$$

Соответственно, координаты точки D:
$$
D(4; -1; 4)
$$

Найдем уравнение прямой, проходящей через D и вершину B:

Найдем вектор для данной прямой:
$$
\vec{BD} = (4 - 7; -1 + 3; 4 - 4) = (-3; 2; 0)
$$

Запишем уравнение прямой в параметрической форме:
$$
x(t) = 4 - 3t
$$
$$
y(t) = -1 + 2t
$$
$$
z(t) = 4
$$

Выразим координаты точки D через пременную t (как вектор):
$$
D = [4-3t ; -1+2t ; 4]
$$

Найдем координаты точки D при t = 1:
$$
D(1) = [4-31 ; -1+21 ; 4] = [1 ; 1; 4]
$$

Итак, уравнение высоты D треугольника:
$$
D(x,y,z) = [1 ; 1; 4]
$$