Угол между плоскостями ABC и ADC равен 60°, AB = BC = AC = 12 см, AD= CD, ADC = 120°. Найдите отрезок BD. Угол между плоскостями ABC и ADC равен 60°, AB = BC = AC = 12 см, AD= CD, ADC = 120°. Найдите отрезок BD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из угла между плоскостями ABC и ADC равного 60° следует, что треугольники ABC и ADC равнобедренные. Таким образом, углы CAD и CBA равны 60°. Также из условия известно, что угол ADC равен 120°, следовательно, угол ACD равен 30°.

Теперь воспользуемся законом косинусов в треугольнике ADC:

AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2ADCDcos(ADC)
12^2 = x^2 + x^2 - 2xxcos(120°)
144 = 2x^2 + 2x^2
144 = 4x^2
x^2 = 36
x = 6

Таким образом, AD = CD = 6 см. Из равнобедренности треугольников ABC и ACD следует, что BD является биссектрисой угла ACB.

Из угла ACD = 30° следует, что угол BCD = 30°, а угол BDC = 60°. Теперь воспользуемся законом косинусов в треугольнике BDC:

BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2BCCDcos(BCD)
BD^2 = 12^2 + 6^2 - 2126cos(30°)
BD^2 = 144 + 36 - 1443^0.5
BD^2 = 180 - 1443^0.5
BD^2 = 180 - 723^0.5
BD = sqrt(180 - 723^0.5)

BD ≈ 4.1 см

Ответ: BD ≈ 4.1 см.