Реши систему уравнений: Реши систему уравнений:
1/x+y + 1/x-y = 14
5/x+y + 8/x-y = 94
(Дробь в ответе должна быть сокращённой).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной системы уравнений сделаем замену: (a = \frac{1}{x+y}, b = \frac{1}{x-y}).
Тогда система уравнений примет вид:
[a + b = 14]
[5a + 8b = 94]

Перепишем уравнения в матричной форме:
[\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 5 & 8 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \ 94 \end{pmatrix}]

Найдем определитель матрицы коэффициентов:
[det = 1 8 - 1 5 = 3]

Теперь найдем обратную матрицу:
[\begin{pmatrix} 8 & -1 \ -5 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & -1 \ -5 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}]

Умножим обратную матрицу на вектор свободных членов:
[\begin{pmatrix} 8 & -1 \ -5 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 14 \ 94 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix}]
[\begin{pmatrix} 8 14 - 1 94 \ -5 14 + 1 * 94 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22 \ 64 \end{pmatrix}]

Таким образом, (a = 22, b = 64). Возвратимся к исходным переменным:
[\frac{1}{x+y} = 22]
[\frac{1}{x-y} = 64]

Решая данные уравнения, получаем:
[x+y = \frac{1}{22}]
[x-y = \frac{1}{64}]

Сложим уравнения и найдем (x):
[2x = \frac{1}{22} + \frac{1}{64}]
[2x = \frac{64 + 22}{22 64}]
[2x = \frac{86}{22 64}]
[x = \frac{86}{44 32}]
[x = \frac{43}{22 32}]

Вычтем уравнения и найдем (y):
[2y = \frac{1}{22} - \frac{1}{64}]
[2y = \frac{64 - 22}{22 64}]
[2y = \frac{42}{22 64}]
[y = \frac{42}{44 32}]
[y = \frac{21}{22 32}]

Ответ: (x = \frac{43}{22 32}, y = \frac{21}{22 32})