Реши систему уравнений: Реши систему уравнений
1/x+y + 1/x-y = 1
5/x+y + 8/x-y = 9
(Дробь в ответе должна быть сокращённой).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной системы уравнений сделаем замену: (a = \frac{1}{x+y}, b = \frac{1}{x-y})
Тогда система уравнений примет вид
[a + b = 14
[5a + 8b = 94]

Перепишем уравнения в матричной форме
[\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 5 & 8 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \ 94 \end{pmatrix}]

Найдем определитель матрицы коэффициентов
[det = 1 8 - 1 5 = 3]

Теперь найдем обратную матрицу
[\begin{pmatrix} 8 & -1 \ -5 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & -1 \ -5 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}]

Умножим обратную матрицу на вектор свободных членов
[\begin{pmatrix} 8 & -1 \ -5 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 14 \ 94 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix}
[\begin{pmatrix} 8 14 - 1 94 \ -5 14 + 1 * 94 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22 \ 64 \end{pmatrix}]

Таким образом, (a = 22, b = 64). Возвратимся к исходным переменным
[\frac{1}{x+y} = 22
[\frac{1}{x-y} = 64]

Решая данные уравнения, получаем
[x+y = \frac{1}{22}
[x-y = \frac{1}{64}]

Сложим уравнения и найдем (x)
[2x = \frac{1}{22} + \frac{1}{64}
[2x = \frac{64 + 22}{22 64}
[2x = \frac{86}{22 64}
[x = \frac{86}{44 32}
[x = \frac{43}{22 32}]

Вычтем уравнения и найдем (y)
[2y = \frac{1}{22} - \frac{1}{64}
[2y = \frac{64 - 22}{22 64}
[2y = \frac{42}{22 64}
[y = \frac{42}{44 32}
[y = \frac{21}{22 32}]

Ответ: (x = \frac{43}{22 32}, y = \frac{21}{22 32})