4. Дана функция f(x) = 2х в кубе-3х в квадрате. найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [1/2;2] в) составить уравнение касательной к графику этой функцин в точке х0=2. 5. Интегралы определенные и неопределенные: еx а) найти интегралы ∫________dx; (еx+1)2 ∫cos2xsinxdx; ∛x2+√x-x ∫___________dx. x2 б) вычислить определенные интегралы 1 3 4 ∫ (2x -1) x2dx; 0 ∏/2 _______________ ∫ √2sinx+1cosxdx; 0 5 ∫ (1/x-1/x-1)dx. 2 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: П П y= sin 3x, y= 0, x=-----, x=-----. 12 6

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [1/2;2] найдем производную функции f(x)
f'(x) = 6x^2 - 6x

Для нахождения экстремумов приравняем производную к нулю
6x^2 - 6x =
6x(x-1) =
x = 0 или x = 1

Поскольку x должен лежать на отрезке [1/2;2], то x = 0 не подходит. Подставим x = 1 в функцию f(x)
f(1) = 21^3 - 31^2 = 2 - 3 = -1

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [1/2;2] равно -1.

Теперь найдем наибольшее значение функции. Подставим граничные точки отрезка [1/2;2] и найденные на экстремумы в функцию f(x)
f(1/2) = 2(1/2)^3 - 3(1/2)^2 = 1/4 - 3/4 = -1/
f(2) = 22^3 - 32^2 = 16 - 12 = 4

Из вычислений видно, что наименьшее значение функции равно -1, а наибольшее значение равно 4.

б) Для составления уравнения касательной к графику функции f(x) = 2x^3 - 3x^2 в точке x0=2, найдем производную функции
f'(x) = 6x^2 - 6x

Подставим x0=2 в производную, чтобы найти угловой коэффициент касательной в точке x0=2
f'(2) = 62^2 - 62 = 24 - 12 = 12

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) в точке x=2 равен 12. Учитывая, что данная касательная проходит через точку (2, f(2)), можно записать уравнение этой касательной
y - f(2) = f'(2)*(x - 2)

Подставив значения f(2) = 4 и f'(2) = 12, получаем
y - 4 = 12*(x - 2)

Упрощая
y - 4 = 12x - 2
y = 12x - 20

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x0=2 равно y = 12x - 20.

а
∫(е^x)dx = е^x +
∫(cos^2(x)sin(x))dx = 1/3cos^3(x) +
∫(x^(2/3) + √x - x)dx = 3/5x^(5/3) + 2/3x^(3/2) - x^2/2 + C

б
∫(2x - 1)/x^2 dx = ∫(2/x - 1/x^2)dx = 2ln|x| + 1/x +
∫(√2sin(x) + cos(x))dx = ∫(√2sin(x))dx + ∫cos(x)dx = -√2cos(x) + sin(x) +
∫(1/x - 1/(x-1))dx = ln|x| - ln|x-1| + C

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=sin(3x), y=0, x=π/12, x=π/6, нужно найти интеграл функции y=sin(3x) на заданном отрезке и взять модуль результата, так как функция sin(3x) может принимать отрицательные значения на данном интервале
S = ∫|(sin(3x))|dx = ∫|sin(3x)|dx

Интегрируя функцию |sin(3x)| на отрезке [π/12, π/6], найдем площадь фигуры, ограниченной этими линиями.