Расстояние от точки А (2,3,-1) до прямой L: x=3t+5; y=2t; z=-2t-25

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения расстояния от точки до прямой в трехмерном пространстве можно воспользоваться формулой:

d = |(AX) x n| / |n|,

где A - координаты точки, X - координаты произвольной точки на прямой, n - вектор направления прямой.

Также, чтобы найти проекцию вектора AX на вектор направления прямой, можно воспользоваться формулой проекции вектора:

proj_n(AX) = (AX . n) * n / |n|,

где "." - скалярное произведение векторов.

Теперь, найдем координаты произвольной точки на прямой (X) при t = 0:

x = 3t + 5 = 5,
y = 2t = 0,
z = -2t - 25 = -25.

Теперь найдем координаты вектора AX:

AX = (5-2, 0-3, -25+1) = (3, -3, -24).

Теперь найдем координаты вектора направления прямой (n):

n = (3, 2, -2).

Теперь найдем скалярное произведение векторов AX и n:

(AX . n) = 33 + (-3)2 + (-24)*(-2) = 9 - 6 + 48 = 51.

Теперь найдем проекцию вектора AX на вектор направления прямой:

proj_n(AX) = 51 (3, 2, -2) / sqrt(3^2+2^2+(-2)^2) = (513/sqrt(17), 512/sqrt(17), 51(-2)/sqrt(17)) = (153/sqrt(17), 102/sqrt(17), -102/sqrt(17)).

Теперь найдем длину вектора proj_n(AX):

|proj_n(AX)| = sqrt((153/sqrt(17))^2 + (102/sqrt(17))^2 + (-102/sqrt(17))^2) = sqrt(234/17 + 104/17 + 104/17) = sqrt(442/17) = sqrt(442) / sqrt(17).

Таким образом, расстояние от точки А до прямой L равно:

d = sqrt(442) / sqrt(17).