Задача по математике ПрограМиша расставил по кругу 10 каких-то натуральных чисел. МатеМаша хочет провести прямую и разделить круг пополам (по 5 чисел в каждой половине). Она заметила, что как бы она не провела прямую, в одной из частей произведение чисел будет чётным, а в другой - нечётным. Сколько чётных чисел написал ПрограМиша?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть чётных чисел написано $x$, а нечётных - $10-x$.

Так как в результате умножения чётного числа на любое другое число получается чётное число, то произведение всех чисел в части, где чётных чисел $x$, будет также чётным. Значит, произведение всех чисел в другой части, где чётных чисел $10-x$, должно быть нечётным.

Так как произведение нечётного числа на нечётное число всегда будет нечётным, то для того чтобы произведение чисел в части с $10-x$ числами было нечётным, нужно чтобы произведение всех $10-x$ чисел было нечётным.

Но так как произведение всех чисел от $1$ до $10$ всегда чётное число, то мы должны иметь в части $10-x$ чётное количество нечётных чисел.

Так как в сумме у нас всего $10$ чисел, то $x$ (количество чётных чисел) должно быть чётным числом.

Значит, $x$ = 2, 4, 6 или 8.

Но так как мы должны иметь в части $10-x$ чётное количество нечетных чисел, то $10-x$ должно быть чётным. Это возможно только если $x$ = 4, и тогда $10-x$ = 6.

Итак, ПрограМиша записал 4 чётных числа и 6 нечётных.