В треугольнике АВС Вершины имеют координаты a (1; 1; -1) B (2;3;1) c (3;2;1). найти площадь треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения площади треугольника ABC можно воспользоваться формулой Герона или методом векторного произведения.

Формула Герона
Сначала необходимо найти длины сторон треугольника ABC и полупериметр
AB = √[(2-1)^2 + (3-1)^2 + (1+1)^2] = √[1 + 4 + 4] = √9 =
BC = √[(3-2)^2 + (2-3)^2 + (1-1)^2] = √[1 + 1 + 0] = √
CA = √[(3-1)^2 + (2-1)^2 + (1+1)^2] = √[4 + 1 + 4] = √9 = 3

Полупериметр: p = (AB + BC + CA) / 2 = (3 + √2 + 3) / 2 = (6 + √2) / 2 = 3 + √2

Площадь треугольника по формуле Герона
S = √[p(p - AB)(p - BC)(p - CA)] = √[(3 + √2)(√2)(3 - √2)(3 + √2 - 3)] = √[(3 + √2)(3 - √2)(√2)] = 3*√2

Ответ: S = 3√2.

Метод векторного произведения
Для этого метода необходимо векторно умножить два вектора из трех вершин A, B, C и найти модуль этого векторного произведения.

Вектор AB = B - A = (2 - 1; 3 - 1; 1 + 1) = (1; 2; 2
Вектор AC = C - A = (3 - 1; 2 - 1; 1 + 1) = (2; 1; 2)

Векторное произведение векторов AB и AC
N = AB x AC = (22 - 11; 12 - 22; 11 - 22) = (3; -3; -3)

Модуль векторного произведения
|N| = √(3^2 + (-3)^2 + (-3)^2) = √(9 + 9 + 9) = √27 = 3√3

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения
S = 1/2 |N| = 1/2 3√3 = 3/2 * √3 = 3√3 / 2 = 3√3

Ответ: S = 3√3.