Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна а ,наибольшая диагональ призмы составляет с плоскостью основания призмы угол а.Найдите высоту призмы и ее объем

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи известно, что сторона основания правильной шестиугольной призмы равна а и угол между наибольшей диагональю и плоскостью основания равен α.

Так как призма правильная, то углы между боковыми гранями и боковыми ребрами призмы равны 120 градусов. Также между боковой гранью и основанием у призмы правильной формы угол равен 90 градусов.

Таким образом, рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a и h (высота призмы) и гипотенузой d (наибольшая диагональ) так, что угол между катетами равен α. Тогда имеем:

sin(α) = a / d
cos(α) = h / d

Разделим уравнения и получим:

tan(α) = a / h

Так как угол между основанием и наибольшей диагональю равен α, а основание правильной шестиугольной призмы равно a, то наибольшая диагональ равна 2a.

Следовательно, tan(α) = a / h => a / h = a / (2h / sqrt(3)) = sqrt(3) / 2 => h = 2a / sqrt(3)

Объем правильной шестиугольной призмы равен V = S * h, где S - площадь основания призмы.

Так как основание призмы - правильный шестиугольник, то его площадь можно найти по формуле S = (3 sqrt(3) a^2) / 2.

Тогда объем призмы равен V = (3 sqrt(3) a^2) / 2 * 2a / sqrt(3) = 3a^2

Ответ: высота призмы равна 2a / sqrt(3), объем призмы равен 3a^2.