Вычислить площади фигур, ограниченных данными линиями: y^2+2y+1=3x, 3x-3y=7 y^2+2y+1=3x, 3x-3y=7

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения данных линий.

Исходные уравнения:
1) y^2 + 2y + 1 = 3x
2) 3x - 3y = 7

Из второго уравнения выразим x через y:
3x = 3y + 7
x = y + 7/3

Подставим x в первое уравнение:
y^2 + 2y + 1 = 3(y + 7/3)
y^2 + 2y + 1 = 3y + 7
y^2 - y - 6 = 0
(y - 3)(y + 2) = 0

Таким образом, получаем, что y = 3 или y = -2.

Для y = 3:
x = 3 + 7/3
x = 16/3

Для y = -2:
x = -2 + 7/3
x = 1/3

Таким образом, точки пересечения линий:
A(16/3, 3) и B(1/3, -2).

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

По формуле для площади треугольника: S = 1/2 a b * sin(угол между ними).

Вычислим стороны:

AB = sqrt((16/3 - 1/3)^2 + (3 - (-2))^2) = sqrt(225/9 + 25) = sqrt(250) = 5sqrt(10)

AC = sqrt((16/3 - 0)^2 + (3 - 0)^2) = sqrt((64/9) + 9) = sqrt(64/9 + 81/9) = sqrt(145/9)

BC = sqrt((1/3 - 0)^2 + (-2 - 0)^2) = sqrt(1/9 + 4) = sqrt(37/9)

Теперь найдем угол между сторонами AB и AC:

cos(alpha) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 AB AC)
cos(alpha) = (250 + 145 - 37) / (2 5sqrt(10) sqrt(145/9))
cos(alpha) = 358 / (10 5sqrt(10) 3sqrt(145))
cos(alpha) = 358 / (50sqrt(10)sqrt(145))
cos(alpha) = 7.44 / 37.4 = 0.198

alpha ≈ arccos(0.198) ≈ 78.22 градусов

Теперь вычислим площадь фигуры по формуле для треугольника:
S = 1/2 AB AC sin(alpha)
S = 1/2 5sqrt(10) sqrt(145) sin(78.22)
S = 1/2 5sqrt(10) sqrt(145) * 0.978
S ≈ 71.5

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными линиями, равна примерно 71.5.