Найдите тангенс угла между прямой CC1 и плоскостью AB1D1 в кубе ABCDA1B1C1D1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения тангенса угла между прямой и плоскостью в данном случае нам понадобятся векторы, задающие направляющие прямой и плоскости.

Прямая CC1 задается вектором (\overrightarrow{CC1} = (1, 1, -1)), так как она проходит через точки C(1,0,0) и C1(2,1,-1).

Плоскость AB1D1 задается двумя неколлинеарными векторами, лежащими в ней. Возьмем векторы (\overrightarrow{AB} = (1, 1, 0)) и (\overrightarrow{AD1} = (1, 0, -1)), тогда их векторное произведение (\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD1} = (1, 1, 1)) будет нормальным вектором к плоскости AB1D1.

Теперь найдем угол между прямой и плоскостью, используя формулу для нахождения косинуса угла между векторами:

[\cos \theta = \frac{\overrightarrow{CC1} \cdot \overrightarrow{n}}{|CC1| \cdot |n|}]

[\cos \theta = \frac{(11 + 11 + (-1)*1)}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}]

Из этого следует, что (\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3})

И, наконец, тангенс угла между прямой и плоскостью равен:

[\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2}]