Решение задач по математике Из всех прямоугольных треугольников, вписанных в окружность радиуса R, найдите тот, площадь которого наибольшая

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

.

Для начала, обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b, а гипотенузу как c. Также введем угол между катетами а и b как θ.

Тогда вписанный в окружность треугольник можно рассматривать как часть прямоугольного треугольника, у которого один катет лежит на диаметре окружности. Поэтому a и b равны радиусам окружности, а сумма их равна гипотенузе c:

a + b = R,
c = a + b = R.

Также из теоремы Пифагора можно найти выражение для гипотенузы треугольника:

c = sqrt(a^2 + b^2).

Теперь найдем выражение для площади прямоугольного треугольника через катеты:

S = 0.5 a b.

Подставим установленные выражения для a и b в формулу для площади:

S = 0.5 R (R - a).

Теперь найдем производную площади по a и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку максимума:

dS/da = 0.5 R - 0.5 a = 0,
R - a = 0,
a = R.

Таким образом, наибольшая площадь прямоугольного треугольника, вписанного в окружность радиуса R, достигается, когда его катеты равны радиусу окружности.