Докажите, что уравнение ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 имеет один корень Если abs(a+c+e)<abs(b+d)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом противоречия.

Предположим, что уравнение ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 имеет более одного корня. Тогда мы можем записать это уравнение в виде произведения линейных множителей:

ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = a(x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4) = 0,

где x1, x2, x3, x4 - корни уравнения.

Теперь проведем умножение правой части уравнения и сравним коэффициенты при x^3 и x^0:

a(x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4) = ax^4 - a(x1 + x2 + x3 + x4)x^3 + ...

Сравнивая коэффициенты при x^3, получаем:

b = - a(x1 + x2 + x3 + x4).

Теперь возьмем модуль от обеих частей полученного равенства:

|b| = |a(x1 + x2 + x3 + x4)|.

Так как уравнение имеет более одного корня, то |a(x1 + x2 + x3 + x4)| > |a + c + e|, что противоречит условию задачи abs(a + c + e) < abs(b + d).

Следовательно, предположение о том, что уравнение имеет более одного корня, неверно. Значит, уравнение ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 имеет один корень.