РЕШИТЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 6cos^2x+cos2x=1+2sin2x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем уравнение, используя тригонометрические формулы:

cos 2x = 2 cos^2 x - 1
sin 2x = 2 sin x cos x

Тогда уравнение примет вид:
6cos^2 x + 2(2 cos^2 x - 1) = 1 + 4 sin x cos x
6cos^2 x + 4 cos^2 x - 2 = 1 + 4 sin x cos x
10 cos^2 x - 1 = 1 + 4 sin x cos x
10 cos^2 x - 1 = 1 + 2 sin 2x
10 cos^2 x - 1 = 1 + 2(2 sin x cos x)
10 cos^2 x - 1 = 1 + 2(sin x + sin x) // 2 sin x cos x = sin 2x
10 cos^2 x - 1 = 1 + 2 sin x + 2 sin x
10 cos^2 x - 1 = 1 + 4 sin x
10 cos^2 x = 2 + 4 sin x
5 cos^2 x = 1 + 2 sin x
5(1 - sin^2 x) = 1 + 2 sin x
5 - 5 sin^2 x = 1 + 2 sin x
5 sin^2 x + 2 sin x - 4 = 0

Теперь полученное квадратное уравнение можно решить с помощью стандартной формулы:

sin x = (-2 ± √(2^2 - 45(-4))) / (2*5)
sin x = (-2 ± √(4 + 80)) / 10
sin x = (-2 ± √84) / 10

sin x = (-2 ± 2√21) / 10 или sin x = (-2 ∓ 2√21) / 10

sin x = (-1 ± √21) / 5 или sin x = (-1 ∓ √21) / 5

Таким образом, решением исходного тригонометрического уравнения являются значения угла x, при которых sin x = (-1 ± √21) / 5 или sin x = (-1 ∓ √21) / 5.