Докажите теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен суммы квадратов катетов. Доказательство.
На рисунке изображён прямоугольный треугольник ABC ( Угол - ACB = 90Градусов)
Докажем, что AB² = ...(Продолжить)
Проведём высоту CD. Для катетов AC и BC Можно записать: AC² = AB . .и BC²= ...
Сложив почленно эти равенства получим AC² + BC²= ...
Далее, AC² + BC²= AB (...+), AC²+BC²=...

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

AB² = AC² + BC²

Так как угол ACB прямой, треугольник ABC является прямоугольным. Теперь, если мы разделим треугольник на два прямоугольных треугольника, то каждый из них будет подобен треугольнику ABC. Значит, отношения сторон в подобных треугольниках одинаковы.

Рассмотрим маленький прямоугольный треугольник ACD. По теореме Пифагора для него справедливо AC² = AD² + CD². Теперь рассмотрим маленький прямоугольный треугольник BCD. Для него также справедливо BC² = BD² + CD². Сложим полученные уравнения:

AC² + BC² = AD² + CD² + BD² + CD²

AC² + BC² = AD² + BD² + 2CD²

Но AD = BD (потому что треугольник ABC подобен прямоугольным треугольникам ACD и BCD), значит AD² = BD². Подставляем это в уравнение:

AC² + BC² = 2AD² + 2CD²

Используя соотношения сторон подобных треугольников, заменяем AD на AB и CD на BC:

AC² + BC² = 2AB² + 2BC²

AC² + BC² = 2(AB² + BC²)

Разделим выражение на 2:

AC² + BC² = AB² + BC²

Отнимем BC² от обеих частей уравнения:

AC² = AB²

Итак, мы доказали, что AB² = AC² + BC², что и является теоремой Пифагора.