N натуральное число, большее 2. Докажите, что количество натуральных чисел x < N таких, что x^2 + 1 делится на N — четно. б) то же для x^2 + x + 1 и N > 3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a) Пусть N — четное число. Тогда x^2 + 1 может делиться на N только при нечетных значениях x, так как иначе x^2 + 1 будет четным числом. Так как количество нечетных чисел до N равно N/2, то и количество натуральных чисел x, для которых x^2 + 1 делится на N, также будет четным.

b) Пусть N > 3 и N не делится на 3. Рассмотрим выражение x^2 + x + 1. При любых значениях x этот многочлен будет дающим остаток 1 при делении на 3. Поэтому x^2 + x + 1 не делится на 3 ни при каких значениях x. Следовательно, количество натуральных чисел x, для которых x^2 + x + 1 делится на N, равно 0.

Если N делится на 3, то рассмотрим остаток от деления N на 3. Пусть N = 3k. Тогда x^2 + x + 1 = (x^2 + x) + 1 = x(x + 1) + 1. Если x делится на 3, то x(x + 1) будет делиться на 3 и добавление 1 не изменит четности выражения. Если x не делится на 3, то x и x + 1 делятся на 3, и добавление 1 дает остаток 1. Следовательно, количество натуральных чисел x, для которых x^2 + x + 1 делится на N, равно k, то есть четное число.