Решить триганометрическое уравнение Sinx+sin^3x+2020*sin^5x=cos(2x)+cos^3(2x)+2020*cos^5(2x)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала перепишем уравнение в терминах sin и cos:

sin(x) + sin^3(x) + 2020sin^5(x) = cos(2x) + cos^3(2x) + 2020cos^5(2x)

Пользуясь формулами связи между sin и cos для удвоенных углов (sin(2x) = 2sin(x)cos(x), cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)), преобразуем правую часть:

cos(2x) + cos^3(2x) + 2020*cos^5(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) + cos^3(x) - 3cos(x)sin^2(x) + 2020cos^5(x) - 20cos^3(x)sin^2(x)

= cos^2(x) + cos^3(x) - 2020cos^3(x)sin^2(x) - sin^2(x) - 3cos(x)sin^2(x) + 2020cos^5(x)

Заметим, что уравнение выражается через sin(x) и cos(x). Также заметим, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Таким образом, уравнение сводится к:

sin(x) + sin^3(x) + 2020*sin^5(x) = cos^2(x) + cos^3(x) - 2020cos^3(x)sin^2(x) - sin^2(x) - 3cos(x)sin^2(x) + 2020cos^5(x)

Теперь преобразуем:

sin(x) + sin^3(x) + 2020*sin^5(x) = 1 - sin^2(x) + cos^3(x) - 2020cos^3(x)sin^2(x) - sin^2(x) - 3cos(x)sin^2(x) + 2020cos^5(x)

sin(x) + sin^3(x) + 2020*sin^5(x) = 1 - 2sin^2(x) - 3cos(x)sin^2(x) + cos^3(x) - 2020cos^3(x)sin^2(x) + 2020cos^5(x)

sin(x) + sin^3(x) + 2020*sin^5(x) = 1 - 2sin^2(x) + 2020cos^5(x)

Теперь преобразуем:

2020*sin^5(x) - 2020cos^5(x) = 1 - 2sin^2(x) - sin^2(x) - 2sin^3(x) - sin(x) = 0

Теперь это уравнение 5-й степени относительно sin(x). Подставим t = sin(x):

2020t^5 - 2020(1 - t^2) = 0

2020t^5 + 2020t^2 - 2020 = 0

Полученное уравнение 5 степени, но его можно решить численно для нахождения корней t, а затем sin(x).