Задача по стереометрии В правильной четырехугольной призме стороны основания 3см. Диагональ боковой грани образует с основанием угол 30 градусов. Найдите высоту призмы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть высота призмы равна h, тогда по теореме косинусов в треугольнике можно выразить длину диагонали боковой грани:

(d^2 = (3)^2 + h^2 - 23h*\cos(30^\circ))

(d^2 = 9 + h^2 - 6h*\frac{\sqrt{3}}{2})

(d^2 = 9 + h^2 - 3h*\sqrt{3})

Также, по теореме Пифагора для треугольника, образованного диагональю боковой грани, высотой и полудиагональю основания, имеем:

(h^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = d^2)

(h^2 + \frac{9}{4} = d^2)

Подставим выражение для (d^2) из первого уравнения во второе уравнение:

(h^2 + \frac{9}{4} = 9 + h^2 - 3h*\sqrt{3})

Решив уравнение, найдем значение высоты призмы h:

(3h*\sqrt{3} = 9 - \frac{9}{4})

(3h*\sqrt{3} = \frac{27}{4})

(h = \frac{9}{4\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4})

Итак, высота призмы равна (\frac{3\sqrt{3}}{4}) см.