Найдите наименьшую величину выражения √((x1)^2+(1−x2)^2)+√(x2)^2+(1−x3)^2+…+√(x2n)^2+(1−x1)^2.Какое неравенство надо применить при решении

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наименьшей величины данного выражения можно воспользоваться неравенством Коши-Буняковского.

Неравенство Коши-Буняковского формулируется следующим образом: для любых n векторов a=(a1, a2, ..., an) и b=(b1, b2, ..., bn) выполнено неравенство:

|a1b1 + a2b2 + ... + anbn| <= ||a|| ||b||,

где ||a|| и ||b|| - это евклидовы нормы векторов a и b соответственно.

Применяя неравенство Коши-Буняковского к данному выражению:

√((x1)^2+(1−x2)^2)+√((x2)^2+(1−x3)^2)+...+√((x2n)^2+(1−x1)^2

<= √(x1^2 + x2^2 + ... + x2n^2) + √((1-x2)^2 + (1-x3)^2 + ... + (1-x1)^2)

<= √(1^2 + 1^2 + ... + 1^2) = √(n) = sqrt(n).

Таким образом, наименьшая величина данного выражения равна sqrt(n), и она достигается, например, при x1=x2=...=x2n=0,5.