Продолжения высоты `BD` и биссектрисы `BK` треугольника `ABC` пересекают описанную около него окружность в точках... Продолжения высоты `BD` и биссектрисы `BK` треугольника `ABC` пересекают описанную около него окружность в точках `D_1` и `K_1` соответственно, при этом `BD=DD_1` и `BK:BK_1=3:8`. Найти радиус окружности, если площадь треугольника `ABC` равна `30`.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Используем свойство пропорциональности биссектрисы треугольника: если точка делит биссектрису в отношении a:b, то соответствующее расстояние до сторон треугольника равно c = (a*AB + b*AC)/(a+b).

Из условия BK:BK_1=3:8 находим, что BK = 3x, BK_1 = 8x. Тогда BD = DD_1 = 3x и K_1D_1 = 8x.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике BDK_1:
BD^2 + BK_1^2 = D_1K_1^2.

Подставляем значения:
(3x)^2 + (8x)^2 = (3x + 8x)^29x^2 + 64x^2 = 121x^273x^2 = 121x^2x^2 = 121/73x^2 = 1.6575x = sqrt(1.6575) = 1.287.

Теперь найдем площадь S треугольника ABC через биссектрису:
S = AB*BD*2/3 = AC*CD_1*2/3.

Подставляем значения:
30 = AB*3x*2/3 = AC*8x*2/330 = AB*3*2 = AC*8*230 = 6AB = 16ACAB = 5, AC = 1.875.

Теперь найдем радиус окружности через площадь S:
S = (abc)/(4R), где a, b, c - стороны треугольника, R - радиус описанной окружности.

Подставляем значения:
30 = (5)(1.875)(DK_1)/(4R)30 = 9.375D/4R4R = 9.375D/30R = 9.375D/120 = 1.287/4 = 0.32175.

Итак, радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 0.32175.