Биссектрисы углов C и D трапеции BCDE пересекаются в точке А, лежащей на стороне BE. Докажите, что точка А равноудалена От прямых BC, CD и DE.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим точки пересечения биссектрис с соответствующими сторонами:

Пусть M - точка пересечения биссектрисы угла C с стороной DE, а N - точка пересечения биссектрисы угла D с стороной BC.

Так как точка A лежит на обеих биссектрисах, то она является точкой пересечения прямых MN. Таким образом, MN является биссектрисой угла BME.

Теперь заметим, что углы BMC и BMD равны, так как они дополняют углы D и C до 180 градусов. Следовательно, треугольники BMC и BMD равны, так как у них равны стороны BM и MB (они общие) и равные углы.

Отсюда следует, что точка M равноудалена от прямых BC и CD. Аналогично, точка N равноудалена от прямых CD и DE.

Так как точка A лежит на прямой MN, то она также равноудалена от прямых BC, CD и DE, что и требовалось доказать.