Д. К. Соминский, И. С. Фадеев. Геометрическое представление комплексных чисел Доказать тождество
|x + y|^2 + |x − y|^2 = 2(|x|^2 +|y|^2);
какой геометрический смысл имеет это тождество

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Распишем левую часть тождества:

|x + y|^2 = (x + y)(x + y) = xx + 2xy + yy = |x|^2 + 2Re(xy) + |y|^2,
где Re(xy) - действительная часть числа x*y.

Аналогично,

|x - y|^2 = (x - y)(x - y) = xx - 2xy + yy = |x|^2 - 2Re(x*y) + |y|^2.

Сложим выражения:

|x + y|^2 + |x - y|^2 = 2(|x|^2 + |y|^2).

Таким образом, тождество доказано.

Геометрический смысл данного тождества заключается в том, что сумма квадратов длин отрезков, соединяющих начало координат с точками x + y и x - y на комплексной плоскости, равна удвоенной сумме квадратов длин отрезков, соединяющих начало координат с точками x и y. Иными словами, это тождество описывает взаимосвязь между модулями и действительными частями комплексных чисел на плоскости.